Spivak Notation

为了保持清晰，我们将使用 Spivak’s 导数符号。它是一种函数式符号，能使涉及导数的表达变得简单。对于一个单变量函数 $f$，$f(a)$ 代表它在 $a$ 点的函数值，$Df$ 代表它的一阶导数，同时 $Df(a)$ 是其导数在 $a$ 点的函数值。例如：

$$Df(a)=\frac{d}{dx}f(x)|_{x=a}$$

$D^kf$ 代表 $f$ 的 $k^{th}$ 导数。而对于双变量函数 $g(x,y)$，$D_{1}g$ 和 $D_2g$ 分别代表 $g$ 对两个变量的偏导数

$$D_{1} g=\frac{\partial}{\partial x} g(x, y) \text { and } D_{2} g=\frac{\partial}{\partial y} g(x, y)$$

则 $Dg$ 代表 Jacobian

$$Dg=[D_1g,D_2g]$$

对于多元函数的 $g:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}^m$， $Dg$ 代表 $m\times n$ 的 Jacobian 矩阵，$D_ig$ 是 $g$ 的第 $i$ 个变量的偏导数。更多的信息请参考 Spivak’s book Calculus on Manifolds 或者 Mitchell N. Charity. 的简短讨论 merits of this notation 。