Analytic Derivatives

Example of Analytic Derivatives

考虑通过样本数据对如下问题 (Rat43) 进行曲线拟合

$$y=\frac{b_{1}}{\left(1+e^{b_{2}-b_{3} x}\right)^{1 / b_{4}}}$$

给定一些样本数据 $\left\{x_{i}, y_{i}\right\}, \forall i=1, \ldots, n$ ，估计参数 $b_{1}, b_{2}, b_{3},b_{4}$ 。可以建模成寻找使得如下目标函数取得最小值时， $b_{1}, b_{2}, b_{3},b_{4}$ 的值：

$$\begin{aligned} E\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right) & =\sum_{i} f^{2}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ; x_{i}, y_{i}\right) \\ & =\sum_{i}\left(\frac{b_{1}}{\left(1+e^{b_{2}-b_{3} x_{i}}\right)^{1 / b_{4}}}-y_{i}\right)^{2} \end{aligned}$$

使用 Ceres 解决该问题，我们需要定义一个 costFunction，用于计算给定 $x$ 和 $y$ 的残差 $f$ 及其相对于 $b_{1}、b_{2}、b_{3}$ 和 $b_{4}$ 的导数。

$$\begin{array}{l} D_{1} f\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ; x, y\right)=\frac{1}{\left(1+e^{b_{2}-b_{3} x}\right)^{1 / b_{4}}} \\ D_{2} f\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ; x, y\right)=\frac{-b_{1} e^{b_{2}-b_{3} x}}{b_{4}\left(1+e^{b_{2}-b_{3} x}\right)^{1 / b_{4}+1}} \\ D_{3} f\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ; x, y\right)=\frac{b_{1} x e^{b_{2}-b_{3} x}}{b_{4}\left(1+e^{b_{2}-b_{3} x}\right)^{1 / b_{4}+1}} \\ D_{4} f\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ; x, y\right)=\frac{b_{1} \log \left(1+e^{b_{2}-b_{3} x}\right)}{b_{4}^{2}\left(1+e^{b_{2}-b_{3} x}\right)^{1 / b_{4}}} \end{array}$$

有了这些导数，我们现在可以将 CostFunction 实现为：

class Rat43Analytic : public SizedCostFunction<1,4> {
   public:
     Rat43Analytic(const double x, const double y) : x_(x), y_(y) {}
     virtual ~Rat43Analytic() {}
     virtual bool Evaluate(double const* const* parameters,
                           double* residuals,
                           double** jacobians) const {
       const double b1 = parameters[0][0];
       const double b2 = parameters[0][1];
       const double b3 = parameters[0][2];
       const double b4 = parameters[0][3];

       residuals[0] = b1 *  pow(1 + exp(b2 -  b3 * x_), -1.0 / b4) - y_;

       if (!jacobians) return true;
       double* jacobian = jacobians[0];
       if (!jacobian) return true;

       jacobian[0] = pow(1 + exp(b2 - b3 * x_), -1.0 / b4);
       jacobian[1] = -b1 * exp(b2 - b3 * x_) *
                     pow(1 + exp(b2 - b3 * x_), -1.0 / b4 - 1) / b4;
       jacobian[2] = x_ * b1 * exp(b2 - b3 * x_) *
                     pow(1 + exp(b2 - b3 * x_), -1.0 / b4 - 1) / b4;
       jacobian[3] = b1 * log(1 + exp(b2 - b3 * x_)) *
                     pow(1 + exp(b2 - b3 * x_), -1.0 / b4) / (b4 * b4);
       return true;
     }

    private:
     const double x_;
     const double y_;
 };

这些难以阅读并且有很多冗余。因此在实践中我们会用一些子表达式来提高其效率，这会给我们带来类似的结果：

class Rat43AnalyticOptimized : public SizedCostFunction<1,4> {
   public:
     Rat43AnalyticOptimized(const double x, const double y) : x_(x), y_(y) {}
     virtual ~Rat43AnalyticOptimized() {}
     virtual bool Evaluate(double const* const* parameters,
                           double* residuals,
                           double** jacobians) const {
       const double b1 = parameters[0][0];
       const double b2 = parameters[0][1];
       const double b3 = parameters[0][2];
       const double b4 = parameters[0][3];

       const double t1 = exp(b2 -  b3 * x_);
       const double t2 = 1 + t1;
       const double t3 = pow(t2, -1.0 / b4);
       residuals[0] = b1 * t3 - y_;

       if (!jacobians) return true;
       double* jacobian = jacobians[0];
       if (!jacobian) return true;

       const double t4 = pow(t2, -1.0 / b4 - 1);
       jacobian[0] = t3;
       jacobian[1] = -b1 * t1 * t4 / b4;
       jacobian[2] = -x_ * jacobian[1];
       jacobian[3] = b1 * log(t2) * t3 / (b4 * b4);
       return true;
     }

   private:
     const double x_;
     const double y_;
 };

两种实现的区别如下：

CostFunction	Times(ns)
Rat43Analytic	255
Rat43Analytic	92

When should you use analytical derivatives?

• 表达式很简单，例如大多是线性的。

• 可以使用 Maple 、Mathematica 或 SymPy 等计算机代数系统对目标函数进行微分，并生成 C++ 对其进行评估。

• 性能是最先考虑的，可以利用计算中的代数结构来获得比自动微分更好的性能。尽管如此，要想从 analytical derivatives 中获得最佳性能，还需要做大量的工作。在采用这种方法之前，最好先估算一下求解 jacobian 所花费的时间占总求解时间的比例，使用 Amdahl’s Law 即可。

• 您喜欢链式法则，并且喜欢手工计算所有导数。

• There is no other way to compute the derivatives, e.g. you wish to compute the derivative of the root of a polynomial, $a_{3}(x, y) z^{3}+a_{2}(x, y) z^{2}+a_{1}(x, y) z+a_{0}(x, y)=0$, with respect to $x,y$, This requires the use of the Inverse Function Theorem.