Hello World

我们尝试找到如下函数的最小值

$$\frac{1}{2}(10-x)^2$$

貌似这个问题太简单了哈，最小值点在 $x=10$ 处取得，但是计算机不是人，我们只能通过程序的方式来让他求解，这就是 Ceres 要做的事。接下来我们就来通过 Ceres 来求解该问题。

第一步是编写一个 functor 来评估函数 $f(x)=10-x$

struct CostFunctor {
   template <typename T>
   bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
     residual[0] = 10.0 - x[0];
     return true;
   }
};

上述最重要的部分是 operator() 这个重载函数，它是一个模板函数，它所有的输入和输出类型都是某种类型 T。在这里使用模板则允许 Ceres 调用 CostFunctor::operator<T>() ，当只需要残差值时使用 T=double，当同时需要雅可比时使用特殊类型 T=Jet （这个类型是 Ceres 为什么能够进行自动求导的关键）。在 Derivatives 中，也就是后文的导数章节，我们将更详细地讨论向 Ceres 提供导数的各种方法。

一旦我们有了计算残差的方法，就可以利用它去构建一个非线性最小二乘法问题，并使用 Ceres 解决它。

int main(int argc, char** argv) {
  google::InitGoogleLogging(argv[0]);

  // The variable to solve for with its initial value.
  double initial_x = 5.0;
  double x = initial_x;

  // Build the problem.
  Problem problem;

  // Set up the only cost function (also known as residual). This uses
  // auto-differentiation to obtain the derivative (jacobian).
  CostFunction* cost_function =
      new AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 1>();
  problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, &x);

  // Run the solver!
  Solver::Options options;
  options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;
  options.minimizer_progress_to_stdout = true;
  Solver::Summary summary;
  Solve(options, &problem, &summary);

  std::cout << summary.BriefReport() << "\n";
  std::cout << "x : " << initial_x
            << " -> " << x << "\n";
  return 0;
}

AutoDiffCostFunction 将一个CostFunctor作为输入，自动对其进行微分，并给出一个 CostFunction 接口。

编译并运行 examples/helloworld.cc 将会得到如下结果

iter      cost      cost_change  |gradient|   |step|    tr_ratio  tr_radius  ls_iter  iter_time  total_time
   0  4.512500e+01    0.00e+00    9.50e+00   0.00e+00   0.00e+00  1.00e+04       0    5.33e-04    3.46e-03
   1  4.511598e-07    4.51e+01    9.50e-04   9.50e+00   1.00e+00  3.00e+04       1    5.00e-04    4.05e-03
   2  5.012552e-16    4.51e-07    3.17e-08   9.50e-04   1.00e+00  9.00e+04       1    1.60e-05    4.09e-03
Ceres Solver Report: Iterations: 2, Initial cost: 4.512500e+01, Final cost: 5.012552e-16, Termination: CONVERGENCE
x : 0.5 -> 10

$x$ 的初始值设置为 $0.5$（Ceres 的英文文档这里写的 $5$，貌似是个笔误），经过两轮迭代后为 $10$，细心的读者会发现，这是一个线性问题，一次线性求解就足以得到最优值，然而 Ceres 求解器的默认配置是针对非线性问题的，为了简单起见，我们在本例中没有更改，不过，使用 Ceres 只进行一次迭代也确实可以得到这个问题的解。我们将在讨论 Ceres 的收敛性和参数设置时更详细地讨论这些问题。

Footnotes

1. 实际上，求解器运行了三次迭代，通过观察第三次迭代中线性求解器返回的值，它发现参数块的更新太小，于是宣布收敛。Ceres 只在迭代结束时打印显示，一旦检测到收敛就会终止，这就是为什么你在这里只看到两次迭代而不是三次。

2. examples/helloworld.cc